רעגולער פּאָליהעדראַ: עלעמענטן סימעטריע און געגנט

דזשיאַמאַטרי איז שיין ווייַל, ניט ענלעך אַלגעבראַ, וואָס איז ניט שטענדיק קלאָר וואָס און וואָס איר טראַכטן, גיט אַ וויזשאַוואַל כייפעץ. דעם ווונדערלעך וועלט פון פאַרשידן ללבער באַצירן די רעגולער פּאָליהעדראַ.

גענעראַל אינפֿאָרמאַציע אויף רעגולער פּאָליהעדראַ

לויט צו פילע, רעגולער פּאָליהעדראָנס, אָדער ווי זיי זענען גערופֿן פּלאַטאָניק סאָלידס, פאַרמאָגן יינציק פּראַפּערטיז. מיט די אַבדזשעקס קאָננעקטעד עטלעכע SCIENTIFIC היפּאָטהעסעס. ווען איר אָנהייבן צו לערנען די דזשיאַמעטריק דאַטע פון דעם גוף, איר פאַרשטיין אַז כּמעט טאָן ניט וויסן עפּעס וועגן אַזאַ אַ באַגריף ווי די רעגולער פּאָליהעדראַ. די פּרעזענטירונג פון די אַבדזשעקס אין די שולע איז ניט שטענדיק טשיקאַווע, אַזוי פילע טאָן ניט אַפֿילו געדענקען וואָס זיי זענען גערופֿן. אין זיקאָרן פון רובֿ מענטשן עס איז נאָר אַ קוב. קיין פון דעם גוף דזשיאַמאַטרי טוט ניט פאַרמאָגן אַזאַ שליימעס ווי רעגולער פּאָליהעדראָנס. אַלע די נעמען פון די דזשיאַמעטריק ללבער ערידזשאַנייטאַד פון אלטע גריכנלאנד. זיי פאָרשטעלן די נומער פון פּנימער: די טעטראַהעדראָן - פיר-סיידיד, העקסאַהעדראָן - עלען, אָקטאַהעדראָן - אַקטאַגאַן, דאָדעקאַהעדראָן - דאָדעקאַהעדראַל, יקאָסאַהעדראָן - יקאָסאַהעדראַל. אַלע פון די דזשיאַמעטריק גוף אַקיאַפּייז אַ וויכטיק אָרט אין פּלאַטאָ ס פאָרשטעלונג פון די אַלוועלט. פיר פון זיי זענען ימבאַדיד עלעמענטן אָדער ענטיטיז: די טעטראַהעדראָן - די פייַער, די יקאָסאַהעדראָן - וואַסער קוב - ערד, אָקטאַהעדראָן - לופט. דאָדעקאַהעדראָן ימבאַדיד אַלע זאכן. ער איז געווען באטראכט די הויפּט, ווי אַ סימבאָל פון די אַלוועלט.

די גענעראַליזאַטיאָן פון דער באַגריף פון אַ פּאַליכידראַן

פּאַליכידראַן איז אַ ענדלעך זאַמלונג פון פּאָליגאָנס אַזאַ אַז:

• יעדער פון די זייטן פון קיין פון די פּאָליגאָנס איז אין דער זעלביקער צייַט בלויז איין זייַט פון אן אנדער פילעק אויף דער זעלביקער זייַט;
• פון יעדער פון די פּאָליגאָנס איר קענען גיין צו די אנדערע דורך פּאַסינג שכייניש טהערעטאָ פּאָליגאָנס.

פּאָליגאָנס קאַנסטאַטוטינג די פּאַליכידראַן פאָרשטעלן זייַן פּנימער און זייער זייַט - ריבס. פּאָליהעדראַ ווערטיסעס זענען די ווערטיסעס פון פּאָליגאָנס. אויב די טערמין פילעק פֿאַרשטיין פלאַך פֿאַרמאַכט פּאָלילינעס, דעמאָלט קומען צו איינער דעפֿיניציע פון אַ פּאַליכידראַן. אין די פאַל ווו דורך דעם טערמין איז מענט אַ טייל פון די פלאַך אַז איז באַונדאַד דורך בראָקען שורות, עס וועט זיין פֿאַרשטאַנען ייבערפלאַך קאַנסיסטינג פון פּאַליגאַנאַל ברעקלעך. קאַנוועקס פּאַליכידראַן איז האָט גערופֿן דעם גוף ליגנעריש אויף איין זייַט פון די פלאַך, שכייניש צו זייַן פּנימער.

אן אנדער דעפֿיניציע פון אַ פּאַליכידראַן און זייַן עלעמענטן

פּאַליכידראַן גערופֿן ייבערפלאַך קאַנסיסטינג פון פּאָליגאָנס, וואָס לימאַץ די דזשיאַמעטריק גוף. זיי זענען:

• ניט-קאַנוועקס;
• קאַנוועקס (רעכט און אומרעכט).

רעגולער פּאַליכידראַן - איז אַ קאַנוועקס פּאַליכידראַן מיט מאַקסימאַל סימעטריע. עלעמענץ פון רעגולער פּאָליהעדראַ:

• טעטראַהעדראָן: 6 ריבס 4 פּנימער 5 ווערטיסעס;
• העקסאַהעדראָן (קוב) 12, 6, 8;
• דאָדעקאַהעדראָן 30, 12, 20;
• אָקטאַהעדראָן 12, 8, 6;
• יקאָסאַהעדראָן 30, 20, 12.

עולער ס טעאָרעם

עס יסטאַבלישיז אַ שייכות צווישן די נומער פון עדזשאַז, ווערטיסעס און פּנימער זענען טאָפּאָלאָגיקאַללי עקוויוואַלענט צו אַ קויל. אַדינג די נומער פון ווערטיסעס און פּנימער (ב + ד) האָבן פאַרשידענע רעגולער פּאָליהעדראַ און קאַמפּערינג זיי מיט די נומער פון ריבס, עס איז מעגלעך צו שטעלן איינער הערשן: די סאַכאַקל פון נומער פון פּנימער גלייַך צו די נומער פון ווערטיסעס און עדזשאַז (פּ) געשטארקט דורך 2. עס איז מעגלעך צו אַרויספירן אַ פּשוט פאָרמולע:

• ב + ד = פּ, + 2.

דעם פאָרמולע איז גילטיק פֿאַר אַלע קאַנוועקס פּאָליהעדראַ.

יקערדיק זוך

דער באַגריף פון אַ רעגולער פּאַליכידראַן איז אוממעגלעך צו באַשרייַבן אין איין זאַץ. עס איז מער וואַליוד און באַנד. א גוף צו ווערן אנערקענט ווי אַזאַ, עס איז נייטיק אַז עס מיץ אַ נומער פון זוך. אזוי, אַ דזשיאַמעטריק גוף וועט זיין אַ רעגולער פּאַליכידראַן ווען די באדינגונגען זענען באגעגנט:

• עס איז קאַנוועקס;
• די זעלבע נומער פון ריבס קאָנווערגעס אין יעדער פון זייַן ווערטיסעס;
• אַלע פאַסעץ פון זייַן - רעגולער פּאָליגאָנס, גלייַך צו יעדער אנדערער;
• אַלע דיהעדראַל אַנגלעס זענען גלייַך.

פּראָפּערטיעס פון רעגולער פּאָליהעדראַ

עס זענען 5 אַנדערש טייפּס פון רעגולער פּאָליהעדראַ:

1. קובע (העקסאַהעדראָן) - עס האט אַ פלאַך אַפּעקס ווינקל איז 90 °. עס האט אַ 3-סיידיד ווינקל. סומע פּנים אַנגלעס ביי די ייפּעקס פון 270 °.
2. טעטראַהעדראָן - פלאַך אַפּעקס ווינקל פון - 60 °. עס האט אַ 3-סיידיד ווינקל. סומע פּנים אַנגלעס ביי די ייפּעקס - 180 °.
3. אָקטאַהעדראָן - פלאַך אַפּעקס ווינקל פון - 60 °. עס האט אַ פיר-סיידאַד ווינקל. סומע פּנים אַנגלעס ביי די ייפּעקס - 240 °.
4. דאָדעקאַהעדראָן - אַ פלאַך אַפּעקס ווינקל פון 108 °. עס האט אַ 3-סיידיד ווינקל. סומע פּנים אַנגלעס ביי די ייפּעקס - 324 °.
5. יקאָסאַהעדראָן - עס האט אַ פלאַך אַפּעקס ווינקל פון - 60 °. עס האט אַ פינף-סיידיד ווינקל. סומע פּנים אַנגלעס ביי די ייפּעקס פון 300 °.

די געגנט פון רעגולער פּאָליהעדראַ

די ייבערפלאַך געגנט פון די דזשיאַמעטריקאַל ללבער (ד) איז קאַלקיאַלייטיד ווי אַ רעגולער פילעק געגנט געמערט דורך די נומער פון פאַסעץ (ג):

• ד = (אַ: 2) רענטגענ 2 ג קטג π / פּ.

דער באַנד פון אַ רעגולער פּאַליכידראַן

דעם ווערט איז קאַלקיאַלייטיד דורך מאַלטאַפּלייינג די באַנד פון אַ רעגולער פּיראַמיד וועמענס באַזע איז אַ רעגולער פילעק, די נומער פון פּנים, און זייַן הייך איז די ינסקרייבד ראַדיוס פון די קויל (ר):

• וו = 1: 3רס.

וואָלומעס פון רעגולער פּאָליהעדראַ

ווי קיין אנדערע דזשיאַמעטריק האַרט, רעגולער פּאָליהעדראַ האָבן פאַרשידענע וואַליומז. ונטער זענען פאָרמולאַס דורך וואָס זיי קענען רעכענען:

• טעטראַהעדראָן: α רענטגענ 3√2: 12;
• אָקטאַהעדראָן: α רענטגענ 3√2: 3;
• יקאָסאַהעדראָן; α רענטגענ 3;
• העקסאַהעדראָן (קוב): α רענטגענ 5 רענטגענ 3 רענטגענ (3 + √5): 12;
• דאָדעקאַהעדראָן: α רענטגענ 3 (15, + 7√5): 4.

עלעמענץ פון רעגולער פּאָליהעדראַ

העקסאַהעדראָן און אָקטאַהעדראָן זענען צווייענדיק דזשיאַמעטריק ללבער. אין אנדערע ווערטער, זיי זאלן באַקומען אויס פון יעדער אנדערע אין דער געשעעניש אַז די סענטראָיד פון איינער איז גענומען ווי דער שפּיץ פון די אנדערע, און וויצע ווערסאַ. אויך זענען צווייענדיק יקאָסאַהעדראָן און דאָדעקאַהעדראָן. זיך בלויז טעטראַהעדראָן איז צווייענדיק. לויט צו דעם אופֿן פון Euclid קענען זיין באקומען פון אַ דאָדעקאַהעדראָן העקסאַהעדראָן דורך קאַנסטראַקטינג "ראָאָפס" אויף די פּנימער פֿון די קוב. די ווערטיסעס פון די טעטראַהעדראָן זענען קיין 4 ווערטיסעס פון די קוב, ניט שכייניש פּערז צוזאמען דעם ברעג. פֿון העקסאַהעדראָן (קוב) קענען ווערן דערגרייכט, און אנדערע רעגולער פּאָליהעדראַ. טראָץ דער פאַקט אַז רעגולער פּאָליגאָנס עס זענען ינומעראַבאַל, רעגולער פּאָליהעדראַ, עס זענען נאָר 5.

די ראַדיי פון רעגולער פּאָליגאָנס

מיט יעדער פון די דזשיאַמעטריק ללבער זענען קאָננעקטעד קאַנסענטריק ספערעס 3:

• דיסקרייבד פּאַסינג דורך די ווערטיסעס;
• ינסקרייבד וועגן יעדער פון זייַן פּנימער אין די מיטל פון עס;
• מידיאַן וועגן אַלע די עדזשאַז אין דער מיטן.

די ראַדיוס פון די קויל דיסקרייבד דורך די ווייַטערדיק פאָרמולע איז קאַלקיאַלייטיד:

• ר = אַ: 2 רענטגענ טג π / ג רענטגענ טג θ: 2.

די ראַדיוס פון די ינסקרייבד קויל איז קאַלקיאַלייטיד ווי גייט:

• ר = אַ: 2 רענטגענ קטג π / פּ רענטגענ טג θ: 2,

ווו θ - דיהעדראַל ווינקל וואָס איז צווישן שכייניש פאַסעץ.

די מידיאַן ראַדיוס פון די קויל קענען זיין קאַלקיאַלייטיד ניצן די ווייַטערדיק פאָרמולע:

• ρ = אַ קאָס π / פּ: 2 זינד π / ה,

ווו ה = די מאַגנאַטוד פון 4.6, 6.10, אָדער 10. די פאַרהעלטעניש פון די ראַדיי פון די ינסקרייבד דיסקרייבד און סאַמעטריקלי מיט רעספּעקט צו פּ און ק. עס איז קאַלקיאַלייטיד ווי גייט:

• ר / ר = טג π / פּ רענטגענ טג π / ק.

די סימעטריע פון פּאָליהעדראַ

די סימעטריע פון די רעגולער פּאָליהעדראַ איז פון ערשטיק אינטערעס צו די דזשיאַמעטריק ללבער. עס איז פֿאַרשטאַנען ווי אַ באַוועגונג פון די גוף אין פּלאַץ, וואָס בלעטער די זעלבע נומער פון ווערטיסעס, פּנימער און עדזשאַז. אין אנדערע ווערטער, אונטער דער השפּעה פון סימעטריע טראַנספאָרמאַטיאָנס ברעג, ווערטעקס, אָדער פּנים ריטיינז זייַן אָריגינעל שטעלע, אָדער באוועגט צו די היים שטעלע פון אן אנדער ריפּ, די אנדערע ווערטיסעס אָדער פּנימער.

עלעמענץ פון סימעטריע פון די רעגולער פּאָליהעדראַ זענען פּראָסט צו אַלע טייפּס פון דזשיאַמעטריק סאָלידס. דאָ עס איז באגלייט אויף דער אידענטיטעט טראַנספאָרמאַציע, וואָס בלעטער קיין פון די ווייזט אין די אָריגינעל שטעלע. אַזוי, ווען איר אומקערן די פּאַליגאַנאַל פּריזמע קענען באַקומען עטלעכע סיממעטריעס. קיין פון זיי קענען זיין רעפּריזענטיד ווי די פּראָדוקט פון אָפּשפּיגלונג. סיממעטרי, וואָס איז דער פּראָדוקט פון אַן אַפֿילו נומער פון Reflections, גערופֿן גלייַך. אויב עס איז דער פּראָדוקט פון אַ מאָדנע נומער פון Reflections, דעמאָלט עס איז גערופֿן באַמערקונגען. אזוי, אַלע די טורנס אַרום די שורה פאָרשטעלן גלייַך סימעטריע. קיין אָפּשפּיגלונג פּאַליכידראַן - איז די פאַרקערט סימעטריע.

צו בעסער פֿאַרשטיין די סימעטריע יסודות פון די רעגולער פּאָליהעדראַ, איר קענען נעמען די משל פון די טעטראַהעדראָן. קיין שורה וואָס וועט פאָרן דורך איינער פון די ווערטיסעס און דער צענטער פון די דזשיאַמעטריק פאָרעם, וועט נעמען אָרט, און דורך די צענטער פון די ברעג פאַרקערט צו עס. יעדער פון די טורנס 120 און 240 ° אַרום די שורה געהערט צו די מערצאָל טעטראַהעדראַל סימעטריע. זינט עס 4 ווערטיסעס און פּנימער, מיר באַקומען אַ גאַנץ פון אַכט גלייַך סיממעטריעס. קיין פון די שורות פּאַסינג דורך די מיטל פון די עדזשאַז און דער צענטער פון דעם גוף, עס פּאַסיז דורך די מיטן פון די פאַרקערט ברעג. קיין ראָוטיישאַן פון 180 °, גערופֿן אַ האַלב-אומקערן אַרום אַ גלייַך סימעטריע. זינט די טעטראַהעדראָן האט דרייַ פּערז פון ריבס, איר באַקומען דרייַ שורות פון סימעטריע. באַזירט אויף די אויבן, מיר קענען פאַרענדיקן אַז די גאַנץ נומער פון דירעקט סימעטריע, און כולל די אידענטיטעט טראַנספאָרמאַציע, וועט זיין אַרויף צו צוועלף. אנדערע דירעקט סימעטריע טעטראַהעדראָן טוט נישט עקסיסטירן, אָבער עס האט 12 פאַרקערט סימעטריע. דעריבער, בלויז 24 קעראַקטערייזד טעטראַהעדראָן סיממעטריעס. פֿאַר קלעריטי, מיר קענען בויען אַ מאָדעל פון אַ רעגולער טעטראַהעדראָן געמאכט פון קאַרדבאָרד און מאַכן זיכער עס איז די דזשיאַמעטריק גוף טאַקע האט בלויז 24 סימעטריע.

דאָדעקאַהעדראָן און יקאָסאַהעדראָן - קלאָוסאַסט צו די גוף געגנט. יקאָסאַהעדראָן האט דעם גרעסטן נומער פון פּנים, די דיהעדראַל ווינקל און רובֿ פון אַלע קענען טייטלי קלינג צו די ינסקרייבד קויל. דאָדעקאַהעדראָן האט די לאָואַסט ווינקלדיק כיסאָרן גרעסטן האַרט ווינקל אין די ווערטעקס. עס קענען מאַקסאַמייז צו פּלאָמבירן אין די סירקומסקריבעד קויל.

סקאַנינג פּאָליהעדראַ

רעגולער פּאָליהעדראַ יבערקוקן, וואָס מיר אַלע סטאַק צוזאַמען אין קינדשאַפט, האָבן אַ פּלאַץ פון קאַנסעפּס. אויב עס איז אַ סכום פון פּאָליגאָנס, יעדער זייַט פון וואָס איז ידענטיפיעד מיט בלויז איין זייַט פון די פּאַליכידראַן, די לעגיטימאַציע פון די פּאַרטיעס מוזן נאָכקומען מיט צוויי באדינגונגען:

• פון יעדער פילעק, איר קענען גיין צו אַ פילעק בעת די לעגיטימאַציע פון די זייַט;
• ידענטיפיאַבלע זייַט זאָל האָבן די זעלבע לענג.

עס איז אַ סכום פון פּאָליגאָנס אַז טרעפן די באדינגונגען, און איז גערופֿן אַ פּאַליכידראַן יבערקוקן. יעדער פון די ללבער האט עטלעכע פון זיי. למשל, אַ קוב פון וועלכע עס זענען 11 ברעקלעך.