פּשוט יטעראַטיאָן אופֿן פֿאַר סאַלווינג סיסטעמס פון לינעאַר יקווייזשאַנז (סלאַף)

פּשוט יטעראַטיאָן אופֿן, אויך באקאנט ווי דער אופֿן פון סאַקסעסיוו אַפּראַקסאַמיישאַן, - אַ מאַטאַמאַטיקאַל אַלגערידאַם פֿאַר דערגייונג די וואַלועס פון אומבאַקאַנט ווערט דורך אַ גראַדזשואַל דערקלערן עס. די עסאַנס פון דעם אופֿן איז אַז, ווי דער נאָמען ימפּלייז, זענען ביסלעכווייַז יקספּרעסינג אַן ערשט אַפּראַקסאַמיישאַן פון די סאַבסאַקוואַנט אָנעס, זענען שיין מער ראַפינירט רעזולטאַטן. דעם אופֿן איז געניצט צו געפינען די ווערט פון די בייַטעוודיק אין אַ געגעבן פֿונקציע, און סאַלווינג סיסטעמס פון יקווייזשאַנז, ביידע לינעאַר און ניט-לינעאַר.

זאל ס זען ווי דעם אופֿן איז ימפּלאַמענאַד אין די לייזונג פון לינעאַר סיסטעמס. פאַרפעסטיקט-פונט יטעראַטיאָן אַלגערידאַם איז ווי גייט:

1. די verification פון די קאַנווערדזשאַנס באדינגונגען אין דער ערשט מאַטריץ. א קאַנווערדזשאַנס טעאָרעם: אויב דער אָריגינעל סיסטעם מאַטריץ איז דייאַגאַנאַלי דאָמינאַנט (ד"ה, יעדער רודערן פון עלעמענטן פון די הויפּט דיאַגאָנאַל מוזן זיין גרעסער אין מאַגנאַטוד ווי די סאַכאַקל פון די יסודות זייַט דייאַגאַנאַלז אין אַבסאָלוט ווערט), דעם אופֿן פון פּשוט יטעראַטיאָנס - קאָנווערגענט.

2. די מאַטריץ פון דער אָריגינעל סיסטעם איז ניט שטענדיק די דיאַגאָנאַל העגעמאָניע. אין אַזאַ קאַסעס, די סיסטעם קענען זיין Transformed. די יקווייזשאַנז אַז באַפרידיקן די קאַנווערדזשאַנס צושטאַנד איז לינקס בעשאָלעם, מיט ונסאַטיספיינג און מאַכן לינעאַר קאַמבאַניישאַנז, י.ע. מערן, אַראָפּרעכענען, יקווייזשאַן פאָלדעד צוזאַמען צו פּראָדוצירן דעם געוואלט רעזולטאַט.

אויב די ריזאַלטינג סיסטעם אין די הויפּט דיאַגאָנאַל זענען ומבאַקוועם סיבות, דעמאָלט צו ביידע זייטן פון דעם יקווייזשאַן איז מוסיף צו די ווערטער פון די פאָרעם _איך * רענטגענ _איך, מאַרקס וואָס מוזן צונויפפאַלן מיט די וואונדער פון די דיאַגאָנאַל עלעמענטן.

3. קאָנווערטינג די ריזאַלטינג סיסטעם צו נאָרמאַל View:

^{רענטגענ - = β - + α *} רענטגענ -

דאס קענען ווערן געטאן אין פילע וועגן, למשל, ווי גייט: דער ערשטער יקווייזשאַן צו אויסדריקן רענטגענ ₁ דורך אנדערע אומבאַקאַנט פֿון ווטאָראָגאָ- רענטגענ _2, רענטגענ ₃ פון טרעטעגאָ- אאז"ו ו אזוי מיר זענען ניצן די פאָרמולע:

_{α ידזש = - (אַ ידזש /} אַ וו)

_איך = ב _איך / אַ _וו
מאַכן זיכער ווידער אַז די ריזאַלטינג סיסטעם פון נאָרמאַל טיפּ קאָראַספּאַנדז צו די קאַנווערדזשאַנס צושטאַנד:

Σ (דזש = 1) | α _ידזש | ≤ 1, ווו איך = 1,2, ... N

4. אָנהייבן געניצט, אַקטשאַוואַלי, דעם אופֿן פון סאַקסעסיוו אַפּפּראָקסימאַטיאָנס.

רענטגענ ⁽⁰⁾ - ערשט אַפּראַקסאַמיישאַן, מיר קענען אויסדריקן דורך רענטגענ ^(1), נאכגעגאנגען דורך רענטגענ ⁽¹⁾ אויסדריקן רענטגענ ^(2). דער גענעראַל פאָרמולע פון אַ מאַטריץ פאָרעם ווי גייט:

רענטגענ ^{(N) = β - + α} * רענטגענ (נ- ¹⁾

מיר צונויפרעכענען, ביז מיר דערגרייכן די געבעטן אַקיעראַסי:

_{מאַקס | רענטגענ איך (ק) -רענטגענ} איך (ק + 1) ≤ ε

אַזוי, לאָזן ס קוק אין פיר, דעם אופֿן פון פּשוט יטעראַטיאָן. למשל:
סאָלווע לינעאַר סיסטעמס:

4,5קס1-1.7קס2, + 3.5קס3 = 2
3.1קס1, + 2.3קס2-1.1קס3 = 1
1.8קס1, + 2.5קס2, + 4.7קס3 = 4 מיט אַקיעראַסי ε = 10 ^-3

זען פּריווייל אויב די דיאַגאָנאַל יסודות פון די מאָדולע.

מיר זען אַז די קאַנווערדזשאַנס צושטאַנד איז צופֿרידן דורך א דריט יקווייזשאַן. דער ערשטער און רגע יבערמאַכן, דער ערשטער יקווייזשאַן מיר לייגן צוויי:

7,6קס1, + 0.6קס2, + 2.4קס3 = 3

אַראָפּרעכענען פון די דריט איינער:

-2,7קס1, + 4.2קס2, + 1.2קס3 = 2

מיר האָבן Transformed דער אָריגינעל סיסטעם אין דער עקוויוואַלענט:

7,6קס1, + 0.6קס2, + 2.4קס3 = 3
-2,7קס1, + 4.2קס2, + 1.2קס3 = 2
1.8קס1, + 2.5קס2, + 4.7קס3 = 4

איצט מיר רעדוצירן די סיסטעם צו נאָרמאַל View:

קס 1 = 0.3947-0.0789קס2-0.3158קס3
קס 2 = 0.4762, + 0.6429קס1-0.2857קס3
קס 3 = 0.8511-0.383קס1-0.5319קס2

מיר קאָנטראָלירן די קאַנווערדזשאַנס פון די יטעראַטיווע פּראָצעס:

0,0789 + 0,3158 = 0,3947 ≤ 1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 ≤ 1
0.383+ 0.5319 = 0.9149 ≤ 1, י.ע. די צושטאַנד איז באגעגנט.

0.3947
ערשט אַפּראַקסאַמיישאַן רענטגענ ⁽⁰⁾ = 0.4762
0.8511

פאַרטרעטער די וואַלועס אין די יקווייזשאַן פון די נאָרמאַל טיפּ, מיר קריגן די ווייַטערדיק וואַלועס:

0.08835
רענטגענ ⁽¹⁾ = .486793
0.446639

פאַרטרעטער נייַ וואַלועס, מיר באַקומען:

0.215243
רענטגענ ⁽²⁾ = .405396
0.558336

מיר פאָרזעצן צו רעכענען ביז ביז איר באַקומען נעענטער צו די וואַלועס אַז טרעפן ספּעסיפיעד באדינגונגען.

0.18813

רענטגענ ⁽⁷⁾ = .441091

0.544319

0.188002

רענטגענ ⁽⁸⁾ = 0.44164

0.544428

קאָנטראָליר די קערעקטנאַס פון די רעזולטאטן:

4,5 * 0,1880 -1,7 * 0,441 + 3,5 * 0,544 = 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1.1קס * 0544 = 0,9987
1,8 * 2,5 * 0,1880 + 0,441 + 4,7 * 0,544 = 3,9977

רעזולטאַטן באקומען דורך סאַבסטיטוטינג די באקומען וואַלועס אין דער אָריגינעל יקווייזשאַן, גאָר באַפרידיקן יקווייזשאַן.

ווי מיר קענען זען, די פּשוט יטעראַטיאָן אופֿן גיט אַ פאַירלי פּינטלעך רעזולטאַטן, אָבער צו סאָלווע דעם יקווייזשאַן, מיר האט צו פאַרברענגען אַ פּלאַץ פון צייַט און טאָן קאַמבערסאַם חשבונות.